روش کدگذاری هافمن

روش فشرده سازی هافمن الگوریتمی است که برای فشرده سازی متن مناسب می باشد.
الگوریتم هافمن جزو خانوادهء الگوریتم هایی است که طول کد متغییری دارند. این به آن معناست که نماد های مجزا (برای نمونه کاراکترهایی در یک فایل متنی) با رشته بیت هایی که طول های
مختلفی دارند تعویض می شود. بنابراین نماد هایی که زیاد در یک فایل تکرار می شوند یک رشته بیت کوتاه می گیرند در حالی که نمادهای دیگر که به ندرت دیده می شوند رشته بیت طولانی تری را
می گیرند.

تاریخچه
در سال ۱۹۵۱ David.A.Huffman و هم شاگردی‌هایش در کلاس «تئوری اطلاعات» دانشگاه MIT، حق انتخاب بین تحقیق در مورد یک مفهوم یا دادن امتحان پایانی را داشتند.استاد Robert M. Fano موضوع تحقیق را مسالهٔ پیدا کردن کارآمد ترین کد دودویی تعیین کرد. هافمن ناتوان در پیدا کردن کارآمد ترین، تصمیم گرفته بود خودش را برای امتحان پایانی آماده کندکه ایده‌ای به ذهنش رسید. ایدهٔ استفاده از درخت دودیی مرتب شده بر حسب تکرار(frequency) وتوانست اثبات کند که این کارآمد ترین روش است. در انجام این کار، شاگرد از استادش که با مبدع تئوری اطلاعات، Claude Shannon برای ساختن کدی مشابه کار کرده بود، پیشی گرفت. هافمن از مشکل اصلی روش کدگذاری نیم بهینهٔ Shannon-Fano coding جلوگیری کرده، درخت را به جای ساختن از بالا به پایین، از پایین به بالا ساخت.

کد‌گذاری هافمن

یک الگوریتم کد‌گذاری برای فشرده‌سازی بی‌اتلاف اطلاعات است. این تعبیر بر می‌گردد به استفاده از جدول کد طول متغیر برای کد کردن هر کدام از نشانه‌های مبدا (مانند کاراکترهای یک فایل). جدول کد طول متغیر از روشی بخصوص مبنی بر احتمال وقوع هر کدام از نشان‌های مبدا بدست می‌آید. این روش بوسیلهٔ دیوید هافمن توسعه یافت. وی دانشجوی دورهٔ دکتری در دانشگاه MIT بود و در سال ۱۹۵۲ مقالهٔ «روشی برای تولید کدی با کمترین تکرار زوائد» را منتشر کرد.

در کد کذاری هافمن، از روشی خاص برای انتخاب نحوهٔ نمایش هر نماد استفاده می‌شود. روشی به نام کد‌های بدون پیشوند(گاهی هم روش «کدهای پیشوندی» گفته می‌شود. یعنی در این روش رشته‌ای که نشان دهندهٔ یک کاراکتر خاص است هیچ گاه پیشوند رشتهٔ دیگر که نمایانگر کاراکتری دیگر است، نمی‌باشد.).در این روش کاراکتر‌های پرکاربرد تر با رشته‌های بیتی کوتاهتری نسبت به آن‌هایی که کاربردشان کمتر است، نشان داده می‌شوند.
هافمن موفق شد کارآمد ترین روش فشرده سازی از این نوع را طراحی کند: نگاشت نکردن نشان‌های منفرد مبدا به رشته‌های بیتی یکتا، هرگاه تعداد تکرار نماد‌های اصلی با آنهایی که برای ایجاد این کد مورد استفاده قرار گرفتند مطابقت کند، خروجی‌هایی با اندازهٔ کمتر تولید می‌کند. بعدها روشی برای انجام این کار پیدا شد که این کار را در زمانی خطی انجام می‌داد.
برای مجموعه‌ای از نمادها با توزیع احتمالی یکنواخت و تعداد عضو‌هایی برابر با توانی از ۲، کد گذاری هافمن هم ارز با قطعه کد سادهٔ دوجمله‌ای است. مانند کد گذاری ASCII. کد گذاری هافمن روشی متداول برای ایجاد کد‌های بدون پیشوند است بطوریکه عبارت «کد هافمن» به گستردگی به عنوان مترادفی برای «کد بدون پیشوند» استفاده می‌شود، هرچند چنین کدی با الگوریتم هافمن بدست نیامده باشد.
اگرچه کد گذاری هافمن برای کد کردن نماد به نماد بهینه‌است، اما گاهی کارآمدی آن بیش از مقدار واقعی پنداشته می‌شود. برای مثال، کد کردن حسابی و کد کردن LZW، گاهی توانایی بالاتری در فشرده سازی دارند.

کد قانونی هافمن
اگر وزن های مربوط به ورودی های مرتب شده بر اساس الفبا، به ترتیب عددی باشند، کد هافمن طولی برابر طول کد الفبایی بهینه دارد که می‌تواند از طریق محاسبه بدست آید. کد بدست آمده از ورودی های مرتب شده از نظر عددی ،کد قانونی هافمن گفته می‌شود و کدی است که به خاطر سادگی رمز کردن و رمز گشایی ،در عمل استفاده می‌شود. تکنیک پیدا کردن این کد ، اکثرا کد گذاری Huffman-Shannon-Fano نامیده می‌شود. و این به خاطر آن است که مانند کدگذاری هافمن بهینه، ولی در احتمال وزن ها مانند کد گذاریShannon-Fano coding الفبایی است. کد هافمن Shannon-Fano مربوط به این مثال {۰۰۰,۰۰۱,۰۱,۱۰,۱۱} است که در آن طول کد کلمه‌ها ، همان مقداری است که در حل اصلی آمده است.

کد هافمن با ارزش حرفی متفاوت
در کد گذاری استاندارد هافمن، فرض شده است که هر نماد در مجموعه‌ای که کد ها از آن استخراج می‌شوند،ارزشی یکسان با بقیه دارد: کد کلمه‌ای که طول آن N است ارزشی برابر N خواهد داشت ،مهم نیس که چند رقم آن ۱ و چند رقم آن ۰ است. وقتی با این فرض کار می کنیم، کم کردن هزینهٔ کلی پیام ، با کم کردن تعداد رقم های کل ۲ چیز یکسانند. کد هافمن با ارزش حرفی متفاوت به نحوی عمومیت یافته که این فرض دیگر صحیح نیست: حروف الفبای کدگذاری ممکن است طول های غیر همسانی داشته باشند ، به خاطر خصوصیت های واسطهٔ انتقال. مثالی بر این ادعا،الفبای کد گذاری کد مورس است، که در آن فرستادن یک ‘خط تیره’ بیشتر از فرستادن یک ‘نقطه’ طول می‌کشد ، پس ارزش خط تیره در زمان انتقال بالاتر است. درست است که هدف هنوز کم کردن میانگین طول وزنی کد است اما دیگر کم کردن تعداد نماد های بکار برده شده در پیام، به تنهایی کافی نیست. هیچ الگوریتمی شناخته نشده است که این را به همان روش و همان کارآیی کد قراردادی هافمن انجام دهد.

انواع
انواع مختلفی از کد گذاری هافمن وجود دارد، که بعضی از آنها از الگوریتم‌هایی شبیه الگوریتم هافمن و بعضی دیگر از کد‌های بهینهٔ پیشوندی (با محدودیت‌های خاص برای خروجی)استفاه می‌کنند. در حالت اخیر، نیاز نیست که روش، شبیه روش هافمن باشد و حتی ممکن است زمان اجرایی چند‌جمله‌ای هم نداشته باشد. لیست کاملی از مقالات مربوط به انواع مختلف کد گذاری هافمن، در «درخت‌های کد و تجزیه برای کد کردن بی زیان اطلاعات» [۱] داده شده‌است.

کد هافمن n تایی
الگوریتم کد هافمن n تایی از الفبای {۰, ۱,…, n − ۱} برای کد کردن پیام‌ها و ساختن درخت n تایی استفاده می‌کند. این روش دسترسی بوسیلهٔ هافمن و در مقاله اش بررسی شده بود.

کد هافمن انطباقی
نوع دیگری به نام کد هافمن انطباقی، احتمالاتی را که به صورت پویا و بر اساس تکرار واقعی در منبع اصلی است، محاسبه می‌کند. این به گونه‌ای مربوط به خانوادهٔ الگوریتم‌های LZ است.

الگوریتم الگوی هافمن
بیشتر اوقات، وزن‌های مورد استفاده در اجرای کد هافمن، نمایانگر احتمالات عددی است ولی این الگوریتم چنین چیزی را نیاز ندارد بلکه فقط به راهی برای منظم کردن وزن‌ها و اضافه کردن آنها نیازمند است. الگوریتم الگو هافمنامکان استفاده از هر نوع وزنی را می‌دهد.(ارزش-تکرار-جفت وزن ها-وزن‌های غیر عددی) و هر کدام از روش‌های ترکیبی مختلف. اینگونه الگوریتم‌ها می‌توانند مسائل فشرده سازی دیگر را نیز حل کنند.

کد هافمن با طول محدود
کد هافمن با طول محدود نوعی دیگر از کد هافمن است. این نوع هنگامی مورد استفاده قرار می‌گیرد که هدف هنوز بدست آوردن طول مسیر با کمترین وزن است اما یک شرط دیگر نیز وجود دارد و آن این است که اندازهٔ هر کد، باید کمتر از مقدار ثابت خاصی باشد. الگوریتم بسته بندی-ادغام این مشکل را بوسیلهٔ یک الگوریتم حریصانه ساده شبیه به همانی که در الگوریتم هافمن بکار رفته بود، حل می‌کند. پیچیدگی زمانی این الگوریتم O(nL), که L ماکزیمم طول یک کدکلمه(codeword)است.

هیچ الگوریتمی شناخته نشده که این کا را در زمان linear or linearithmic انجام دهد,بر خلاف مسائل پیش مرتب شده و مرتب نشدهٔ هافمن. یک مثال کاربردی اجزای کار را به شما نشان می دهد.

فرض کنید می خواهید تکه اطلاعات زیر رافشرده کنید:
ACDABA

از آنجایی که ۶ کاراکتر داریم، این متن ۶ بایت یا ۴۸ بیت می باشد. با رمز گزاری هافمن، فایل برای بیشترین تکرار ظاهر شدن نمادها (در این مثال نماد A سه بار تکرار می شود) جستجو می شود و
سپس یک درخت ساخته می شود که نماد ها را با رشته بیت های کوتاه تر جایگزین می کند. در این حالت خاص الگوریتم از جدول جایگزینی زیر استفاده می کند:
A=0 , B=10 , C=110 , D=111.

اگر این کد برای فشرده سازی فایل استفاده شود، اطلاعات فشرده شده به صورت زیر در می آیند:
01101110100

این به این معنی است که ۱۱ بیت به جای ۴۸ بیت مصرف شد. در این مثال خاص نسبت فشرده سازی ۴ به ۱ می باشد.
رمزگزاری هافمن به دو روش مختلف می تواند بهینه تر شود:
1. کد هافمن انطباقی (Adaptive Huffman code) به صورت پویا کلمات کد را با توجه به تغییر احتمال وقوع نماد ها تغییر می دهد.
2. فشرده سازی گستردهء هافمن (Extended Huffman Compression) می تواند گروهی از نماد ها را نسبت به یک نماد رمز گزاری کند.

این روش می تواند بین ۲۰% تا ۹۰% اطلاعات را فشرده کند.

این الگوریتم فشرده سازی اساسا برای فشرده سازی متون و فایل های برنامه سودمند است.

کد گذاری به روش هافمن

کد گذاری به روش هافمن، روشی است برای بهینه سازی مقدار حجم استفاده شده برای نگهداری داده های معلوم.

همانطور که می دانید، هر کاراکتری در کامپیوتر با یک کد (با استاندارد اسکی بین ۰ تا ۲۵۵) نمایش داده می شود، فرض کنید برای نمایش حرف A از عدد ۶۵ استفاده شود، عدد ۶۵ در مبنای ۲ (که مبنای ذخیره سازی کامپیوتر های رقمی است) به صورت ۱۰۰۰۰۰۱ در خواهد آمد و در نتیجه به ۷ بیت فضا برای ذخیره سازی نیاز دارد.
در این صورت رشته ی AAAAAAAA که متشکل از ۸ حرف A است نیاز به فضایی معادل ۸*۷=۵۶ بیت یا به بیان ساده تر ۷ بایت دارد.
دلیل اینکه ما کد ۶۵ را برای حرف A انتخاب کردیم این است که (در استاندارد Ascii) 254 کاراکتر مجاز دیگر به جز A برای کامپیوتر ها در نظر گرفته شده است. اما در رشته فوق از آنجا که میدانیم فقط یک نوع کاراکتر به کار رفته است، می توانیم این کد را به طور قراردادی به کد کوتاهتری (مثلا ۱) تغییر دهیم، در این صورت رشته ی فوق در فضایی به طول ۸*۱=۸ بیت یا به بیان ساده تر ۱ بایت قابل ذخیره سازی است.

و اما اینکه چگونه کد جدید (در این مثال ۱ به جای ۶۵) را به دست بیاوریم توسط روش Huffman بیان میشود.

روش هافمن:

۱- چگالی هر کاراکتر را محاسبه میکنیم (تعداد دفعات حضور کاراکتر در متن مورد نظر).
2- دو کاراکتر با کمترین میزان تکرار (چگالی) را انتخاب میکنیم.
3- کاراکتر های مرحله ۲ را با کاراکتر جدیدی که دارای چگالی برابر با مجموع چگالی دو کاراکتر فوق است جایگزین میکنیم.
4- تا زمانی که فقط یک کاراکتر باقی مانده باشد، به مرحله ۲ میرویم.
5- از عملیات فوق یک درخت حاصل می شود، بر روی این درخت هر مسیر به سمت چپ با ۰ و هر مسیر به سمت راست با ۱ وزن دهی میشود.
6- کد هر کاراکتر با کنار هم گذاشتن وزن ها از ریشه تا آن کاراکتر به دست می آید.

درعلوم کامپیوتر و تئوری اطلاعات، کد‌گذاری هافمن یک الگوریتم کد‌گذاری برای فشرده‌سازی بی‌اتلاف اطلاعاتاست.

این تعبیر بر می‌گردد به استفاده از جدول کد طول متغیر برای کد کردن هر کدام از نشانه‌های مبدا (مانند کاراکترهای یک فایل). جدول کد طول متغیر از روشی بخصوص مبنی بر احتمال وقوع هر کدام از نشان‌های مبدا بدست می‌آید. این روش بوسیلهٔ دیوید هافمن توسعه یافت. وی دانشجوی دورهٔ دکتری در دانشگاه MIT بود و در سال ۱۹۵۲ مقالهٔ «روشی برای تولید کدی با کمترین تکرار زوائد» را منتشر کرد.

در کد کذاری هافمن، از روشی خاص برای انتخاب نحوهٔ نمایش هر نماد استفاده می‌شود. روشی به نام کد‌های بدون پیشوند(گاهی هم روش «کدهای پیشوندی» گفته می‌شود. یعنی در این روش رشته‌ای که نشان دهندهٔ یک کاراکتر خاص است هیچ گاه پیشوند رشتهٔ دیگر که نمایانگر کاراکتری دیگر است، نمی‌باشد.).در این روش کاراکتر‌های پرکاربرد تر با رشته‌های بیتی کوتاهتری نسبت به آن‌هایی که کاربردشان کمتر است، نشان داده می‌شوند.

هافمن موفق شد کارآمد ترین روش فشرده سازی از این نوع را طراحی کند: نگاشت نکردن نشان‌های منفرد مبدا به رشته‌های بیتی یکتا، هرگاه تعداد تکرار نماد‌های اصلی با آنهایی که برای ایجاد این کد مورد استفاده قرار گرفتند مطابقت کند، خروجی‌هایی با اندازهٔ کمتر تولید می‌کند. بعدها روشی برای انجام این کار پیدا شد که این کار را درزمانی خطی انجام می‌داد.

برای مجموعه‌ای از نمادها با توزیع احتمالی یکنواخت و تعداد عضو‌هایی برابر با توانی از ۲، کد گذاری هافمن هم ارز باقطعه کد سادهٔ دوجمله‌ای است. مانند کد گذاری ASCII. کد گذاری هافمن روشی متداول برای ایجاد کد‌های بدون پیشوند است بطوریکه عبارت «کد هافمن» به گستردگی به عنوان مترادفی برای «کد بدون پیشوند» استفاده می‌شود، هرچند چنین کدی با الگوریتم هافمن بدست نیامده باشد.

اگرچه کد گذاری هافمن برای کد کردن نماد به نماد بهینه‌است، اما گاهی کارآمدی آن بیش از مقدار واقعی پنداشته می‌شود. برای مثال، کد کردن حسابی و کد کردن LZW، گاهی توانایی بالاتری در فشرده سازی دارند.

تعریف مساله
پیدا کنید: کد دودویی بدون پیشوند، (مجموعه‌ای از کدها) با کمترین امید ریاضی برای طول کد.(به طور معادل، درختی با کمترین مسیر وزن دار)
تاریخچه در سال ۱۹۵۱ David.A.Huffman و هم شاگردی‌هایش در کلاس «تئوری اطلاعات» دانشگاه MIT، حق انتخاب بین تحقیق در مورد یک مفهوم یا دادن امتحان پایانی را داشتند.استاد Robert M. Fano موضوع تحقیق را مسالهٔ پیدا کردن کارآمد ترین کد دودویی تعیین کرد. هافمن ناتوان در پیدا کردن کارآمد ترین، تصمیم گرفته بود خودش را برای امتحان پایانی آماده کندکه ایده‌ای به ذهنش رسید. ایدهٔ استفاده از درخت دودیی مرتب شده بر حسب تکرار(frequency) وتوانست اثبات کند که این کارآمد ترین روش است. در انجام این کار، شاگرد از استادش که با مبدع تئوری اطلاعات، Claude Shannon برای ساختن کدی مشابه کار کرده بود، پیشی گرفت. هافمن از مشکل اصلی روش کدگذاری نیم بهینهٔ Shannon-Fano coding جلوگیری کرده، درخت را به جای ساختن از بالا به پایین، از پایین به بالا ساخت.

منبع: hsu.ac.ir

 برای اطلاع از فن آوری های نوین ارتباطی شبکه های وایرلس و مایکرو ویو و مراکز تلفنی تحت شبکه از کانال تلگرامی ما به آدرسهای Wireless_tech@و Voip_Tech@  دیدن فرمایید.